2021年数学ツイートまとめ

数学

こんにちは。ぱるまです。2021年にした数学のツイートをまとめたいなぁとふと思ったのでまとめてみました。

数学の証明の話(1月)

証明を木構造として書く自然演繹と日本語での証明を比較してみたというツイートです。 数理論理学をちゃんと勉強して証明とは何なのかというのを考えてみたいです。。。

余談ですが、日本語の方の証明は、以下のツイートのように段落や箱をつけると読みやすいと感じるので、ぼくはこのように証明を書くことが多いです。

Mathlog投稿(well-definedの話)(3月)

2021年の1月から3月頃にちまちまと書いていた記事を投稿しました。

well-definedってなんなんだろうというのを、写像の定義から掘り下げて解説した記事です。

mathlog.info

線形代数の基底の話(4月)

基底（1次独立、生成系）を写像の単射や全射で特徴づけしたという話です。1次独立や生成系が単射や全射で記述できるのがおもしろかったです。

極限と不等号の話(5月)

ツイートの画像にあるように、なにか数学の記述を集合の言葉で記述するのが好きです。（今回の場合だと $ a_n\lt M $ を $ a_n\in(-\infty, M) $ と集合の言葉で記述してます。）

距離空間の閉包の特徴づけ(6月)

6月にiPadを購入しました（今まではMac+板タブで書いてました）。 そこで、iPadでなにかお絵描きしたいなぁって思ったのでお絵描きしてみました。Mac+板タブと違って快適で書いてて楽しかったです。

「ε-δ論法の連続性」と「開集合の逆像で定義する連続性」の同値性(6月)

結構伸びてびっくりしました（2021年で一番伸びた）。 みんなε-δ論法が好きですね。

これも、数学の記述（ε-δ論法）を集合の言葉で記述した例ですね。

米田の補題とリースの表現定理(6月)

圏論の「米田の補題」と関数解析学の「リースの表現定理」が似てるなぁと思ったツイートです。 実は、$ \langle\langle -, x\rangle, f\rangle = f(x) $ は完備でない内積空間でも成り立つ（リースの表現定理を使わなくても言える）ので、リースの表現定理はあんまり関係ないことに後で気づきました（2つ目のツイート）。

圏論と関数解析学のように異なる分野に対してこのような類似の対応が見えるのはおもしろいなぁと思います。（余談ですが、圏論と関数解析学の間の有名な類似対応として、圏論の随伴関手と関数解析学の随伴作用素があります。）

モナド(10月)

モナドで遊んでたときのツイート。随伴とモナドが繋がったり、圏論のモナドとプログラミングのモナドが繋がったりでおもしろかったです。

（1つめのツイートで、モノイドの自由忘却の随伴からモナドを作るとリストモナドが出てくる旨が書いてありますが、これは嘘です。モノイドの自由忘却の随伴から作ったモナドの元は有限の列（無限の列は許されない）ですが、Haskellのようなリストは無限の列も許されます。）

ガウシアンカーネル(12月)

TwitterのTLにカーネル法の話が流れて、気になったのでカーネル法（とくにガウシアンカーネル）について調べてみました。

ガウシアンカーネルの特徴写像が単位球面に送ってるって気づいたときにはびっくりしました。簡単な計算で分かっただけにそうだったのかとびっくりしました。

この件で、こういう簡単な計算でわかる基本的なことを（教科書に書いてなくても）一つずつ確認していきたいなぁと思いました。

線形代数の三角化・対角化(12月)

カーネル法の勉強をしてるときに、線形代数の対角化あたりの話がわからなくて困ったので、対角化の復習をしてました。特に「対称行列は直交行列で対角化可能」という定理で、なぜ対称行列でないといけないのか、なぜ直交行列で対角化ができるのかが気になったので（1つ目のツイートのように）整理してみました。

以下の流れを理解してなるほどってなりました。

  • もともと「任意の正方行列がユニタリ行列で三角化可能」というところから始まっている
  • 成分も固有値も実数だと三角化に使うユニタリ行列が実数の世界（直交行列）に収まる
    • 対称行列は成分も固有値も実数だからこの話に当てはめられる
  • 対称行列を三角化すると得られた上三角行列も対称行列。上三角な対称行列は対角行列なので、対称行列の三角化が対角化になる。

定理の内容だけじゃなくてこういうストーリーがわかると定理への納得感が増す*1ので、こういうストーリーを理解したいなって思ってます。 似た話ですが、「定理の前提が証明のどこで使われているか」についてもわかると納得感が増すので、ちゃんと確認したいなと思ってます。

固有値が実数の直交行列(12月)

固有値が実数の直交行列は対称行列みたいです。びっくりしました。

もっと一般に、固有値が実数の正規行列はエルミート行列です。（固有値が実数の正規行列$ A $を対角化して得られた対角行列 $ \Lambda = U^* A U $ ($ U $はユニタリ行列) は対角成分が実数なのでエルミート行列です。このことから対角化前の正規行列 $ A=U \Lambda U^* $ もエルミート行列であることが簡単に示せます。）

（正規行列の世界では）「固有値が実数」ということはエルミート行列（実行列の場合は対称行列）であることを表現しているんですね。

*1:数学の勉強に納得感が必要なのかはわかりませんが、納得できたほうが気持ちがいいので、趣味で数学をする分にはできたらこういう納得感を得たいなぁという気持ちがあります。